Question

已知f_n（x）=（1+2

x

）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

a1a2…an+1

≤pn．

Answer 1

考点：第二数学归纳法,二项式系数的性质

专题：压轴题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先确定函数g（x），再利用二项式定理可得g（x）中含x²项的系数；
（2）确定p_n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+1时成立即可．

解答： 解：（1）g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x）=（1+2

x

）⁴+（1+2

x

）⁵+（1+2

x

）⁶，
∴g（x）中含x²项的系数为 16

C

4 4

+5

C

4 5

×16+15

C

4 6

×16=336．（3分）
（2）证明：由题意，p_n=2^n-1．（5分）
①当n=1时，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；
②假设当n=k时，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，
当n=k+1时，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）
=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）
∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，
代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．
综合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）对任意n∈N^*成立，
即

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

a1a2…an+1

≤pn对任意n∈N^*成立．（10分）

点评：本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．