Question

椭圆的两个焦点坐标分别为F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且椭圆过点（1，-

3

2

）．
（1）求椭圆方程；
（2）过点（-

6

5

，0）作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，求证：∠MAN=

π

2

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．根据椭圆的两个焦点坐标分别为F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且椭圆过点（1，-

3

2

）．可得

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）设直线MN的方程为x=ky-

6

5

，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，只要证明

AM

•

AN

=0即可．

解答： 解：（1）由题意可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵椭圆的两个焦点坐标分别为F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且椭圆过点（1，-

3

2

）．
∴

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=

3

，b²=1，a²=4．
∴椭圆的方程为

x2

4

+y²=1．
（2）证明：设直线MN的方程为x=ky-

6

5

，
联立

x=ky- 6 5 x2+4y2=4

，
得（k²+4）y²-

12

5

ky-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
y₁y₂=-

64

25(k2+4)

，y₁+y₂=

12k

5(k2+4)

，
则

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=0，
即可得∠MAN=

π

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题转化方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．