Question

已知两个非零向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），ω＞0．
（Ⅰ）当ω=2，x∈（0，π）时，向量

m

与

n

共线，求x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=

m

•

n

的图象与直线y=

1

2

的任意两个相交邻点间的距离都是

π

2

，当f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

6

，α∈（0，π）时，求cos2α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平行向量与共线向量,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）把ω=2代入由向量

m

与

n

共线可得x的等式，可得答案；（Ⅱ）由题意结合三角函数的化简可得f（x）sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，可得周期，进而可得ω=1，代入条件化简可得sinα+cosα=

1

3

，平方可得sin2α=-

8

9

，由同角三角函数的基本关系可得cos2α

解答： 解：（Ⅰ）当ω=2时，

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，cos2x），
∵向量

m

与

n

共线，∴

3

sin2xcos2x-cos²2x=0，
可得cos2x=0，或tan2x=

sin2x

cos2x

=

3

3

，
∵x∈（0，π），∴x=

π

4

，或x=

π

12

，或x=

7π

12

；
（Ⅱ）f（x）=

m

•

n

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

∵函数f（x）的图象与直线y=

1

2

的任意两个相交邻点间的距离都是

π

2

，
∴函数f（x）的周期为π，∴ω=1
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∵f（

α

2

+

π

24

）=sin（α+

π

4

）+

1

2

=

1

2

+

2

6

，
∴sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

6

，
∴sinα+cosα=

1

3

，平方可得1+sin2α=

1

9

，
解得sin2α=-

8

9

，
cos2α=±

1-sin22α

=±

17

9

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量共线和三角函数的性质，属中档题．