Question

16．在平面直角坐标系xOY中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，直线l与x，y轴分别交于点A，B，点P是曲线C上任意一点．
（1）求弦OP的中点M的轨迹的直角坐标方程；
（2）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设P（1+cosθ，sinθ），由O（0，0），先求出弦OP的中点M的轨迹的参数方程，由此能求出弦OP的中点M的轨迹的直角坐标方程．
（2）求出直线l和曲线C的直角坐标方程，曲线C是以C（1，0）为圆心以1为半径的圆，求出P到直线l的最小距离，由此能求出△PAB面积的最小值．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
点P是曲线C上任意一点，以坐标原点O为极点，
∴设P（1+cosθ，sinθ），O（0，0），
∴弦OP的中点M（$\frac{1+cosθ}{2}$，sinθ），
∴弦OP的中点M的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+cosθ}{2}}\\{y=\frac{sinθ}{2}}\end{array}\right.$，
∴弦OP的中点M的轨迹的直角坐标方程为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{1}{4}$．
（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，即$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ+\sqrt{2}=0$，
∴直线l的直角坐标方程为x+y+2=0，
∵直线l与x，y轴分别交于点A，B，∴A（-2，0），B（0，-2），
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，曲线C是以C（1，0）为圆心以1为半径的圆，
圆心C（1，0）到直线l的距离$d=\frac{|1+0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵P是曲线C上的动点，∴P到直线l的最小距离${d}_{min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$，
|AB|=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
∴△PAB面积的最小值${S}_{min}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{3\sqrt{2}}{2}-1）$=3-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点的轨迹的直角坐标方程，考查三角形面积的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．