Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤2x²，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的定义域，函数的导数，f′（x）=

2x2-ax+1

x

，设g（x）=2x²-ax+1，只需讨论g（x）在（0，+∞）上的符号，通过（1）a≤0，（2）0＜a≤2

2

时，a＞2

2

时，f′（x）的符号，求出函数的单调区间．
（Ⅱ）由条件可得lnx+x²-ax≤0（x＞0），转化为a≥

lnx

x

-x恒成立，令h(x)=

lnx

x

-x(x＞0)，求出h′(x)=

1-x2-lnx

x

，方法一：令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），在通过函数的导数求出最值，得到a的范围；
方法二：通过当0＜x＜1时，推出h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0，判断函数的单调性，求出h（x）_max，即可求解a≥-1．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分），
f′(x)=

1

x

+x2-a=

2x2-ax+1

x

（x＞0），
设g（x）=2x²-ax+1，只需讨论g（x）在（0，+∞）上的符号．…（2分）
（1）若

a

4

≤0，即a≤0，由g（x）过定点（0，1），
知g（x）在（0，+∞）上恒正，故f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（3分）
（2）若

a

4

＞0，当a²-8≤0时，即0＜a≤2

2

时，
知g（x）≥0（当x=

2

2

时，取“=”），
故f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）
（3）当a²-8＞0，a＞2

2

时，由2x²-ax+1=0，得x=

a± a2-8

4

，
当0＜x＜

a- a2-8

4

或x＞

a+ a2-8

4

时，g'（x）＞0，即f'（x）＞0，
当

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

时，g'（x）＜0，即f'（x）＜0．
则f（x）在(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上为减函数，
在(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)上为增函数．…（5分）
综上可得：当a≤2

2

时，函数f（x）的单调增区间（0，+∞）；
当a＞2

2

时，函数f（x）的单调增区间为(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)；
函数f（x）的单调减区间为(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)．…（6分）
（Ⅱ）由条件可得lnx+x²-ax≤0（x＞0），
则当x＞0时，a≥

lnx

x

-x恒成立，…（8分）
令h(x)=

lnx

x

-x(x＞0)，则h′(x)=

1-x2-lnx

x

，…（9分）
方法一：令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′(x)=-2x-

1

x

＜0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．
又h'（1）=0，
所以在（0，1）上，h'（x）＞0；在（1，+∞）上，h'（x）＜0．…（10分）
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1．…（12分）
方法二：当0＜x＜1时，1-x²＞0，-lnx＞0，h'（x）＞0；
当x＞1时，1-x²＜0，-lnx＜0，h'（x）＜0．…（10分）
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1．…（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，构造法求解函数的导数以及单调性的判断，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，难度大．