Question

已知f（x）=x+

a

x

-2lnx，a∈R
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，再讨论a≤-1，-1＜a＜0，a≥0时的情况，从而求出函数的单调区间，
（2）由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2⇒1-

a

x2

-

2

x

＜2，解不等式1-

a

x2

-

2

x

＜2即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

(x-1)2-(a+1)

x2

，
a≤-1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）递增；
-1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1+

1+a

，或0＜x＜1-

1+a

，
令f′（x）＜0，解得：1-

1+a

＜x＜1+

1+a

，
∴f（x）在（0，1-

1+a

），（1+

1+a

，+∞）递增，在（1-

1+a

，1+

1+a

）递减；a的
a≥0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1+

1+a

，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1+

1+a

，
∴f（x）在（0，1+

1+a

）递减，在（1+

1+a

，+∞）递增．
（2）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=f′（x）=1-

a

x2

-

2

x

，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2⇒1-

a

x2

-

2

x

＜2，
解不等式1-

a

x2

-

2

x

＜2得：a＞0．
∴实数a的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，求函数的单调区间，考查导数的应用，解不等式问题，考查转化思想，属于中档题．