Question

已知函数f（x）=

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x³+x²+ax-5．
（1）若函数在（-∞，+∞）总是单调函数，求：实数a的取值范围；
（2）若函数在区间（-3，1）上单调递减，求：实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出导函数，令导函数小于等于0或大于等于0在R内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．
（2）求出导函数，令导函数小于等于0在（-3，1）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x³+x²+ax-5．
∴f′（x）=x²+2x+a．
∵函数f（x）在（-∞，+∞）总是单调函数，
∴f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
当f′（x）≥0
即x²+2x+a≥0，
∴a≥-x²-2x=-（x+1）²+1
解得，a≥1，
当f′（x）≤0，
即x²+2x+a≤0恒成立不成立，
故实数a的取值范围是[1，+∞），
（2）∵f（x）=

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x³+x²+ax-5在区间（-3，1）上单调递减，
∴f′（x）=x²+2x+a≤0在区间（-3，1）上恒成立，
即a≤-x²-2x=-（x+1）²+1在在区间（-3，1）上恒成立，
设g（x）=-（x+1）²+1，
∴g（x）min=-3，
∴a≤-3
故实数a的取值范围（-∞，-3]

点评：本题驻澳考查了函数在区间上的单调性已知求参数的范围的问题，递增时令导函数大于等于0恒成立；递减时，令导数小于等于0恒成立．