Question

9．已知抛物线C：y²=4x，直线x=ny+4与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求证：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（其中O为坐标原点）；
（Ⅱ）设F为抛物线C的焦点，直线l₁为抛物线C的准线，直线l₂是抛物线C的通径所在的直线，过C上一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）作直线l：y₀y=2（x+x₀）与直线l₂相交于点M，与直线l₁相交于点N，证明：点P在抛物线C上移动时，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线x=ny+4与抛物线C联立可得y²-4ny-16=0，利用韦达定理及向量的数量积公式即可证明结论；
（Ⅱ）求出M，N的坐标，计算|MF|，|NF|，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直线x=ny+4与抛物线C联立可得y²-4ny-16=0，
∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=-16，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=0；
（Ⅱ）证明：将点M，N的横坐标分别代入直线l：y₀y=2（x+x₀），
得M（1，$\frac{2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），N（-1，$\frac{-2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），
∵F（1，0），∴|MF|=|$\frac{2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$|，|NF|=$\sqrt{4+（\frac{-2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}）^{2}}$=$\frac{2}{|{y}_{0}|}\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-1）^{2}}$，
∴$\frac{MF|}{|NF|}$=|$\frac{2+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$÷$\frac{2}{|{y}_{0}|}\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-1）^{2}}$=$\frac{1+{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}+（{x}_{0}-1）^{2}}}$=1，
∴点P在抛物线C上移动时，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒为定值1．

点评 本题考查直线与抛物线的综合运用，考查韦达定理，向量知识的运用，属于中档题．