Question

3．求关于x的不等式$\frac{{a（{x-1}）}}{x-2}＞1（{a＞0}）$的解集．

Answer 1

分析 把不等式$\frac{{a（{x-1}）}}{x-2}＞1（{a＞0}）$化为$\frac{（a-1）x-a+2}{x-2}$＞0，讨论a-1=0、0＜a＜1以及a＞1时，解不等式即可．

解答 解：关于x的不等式$\frac{{a（{x-1}）}}{x-2}＞1（{a＞0}）$，
化为$\frac{a（x-1）}{x-2}$-1＞0，
即$\frac{ax-a-x+2}{x-2}$＞0，
∴$\frac{（a-1）x-a+2}{x-2}$＞0；
当a-1=0时，a=1，
不等式化为$\frac{1}{x-2}$＞0，
解得x＞2；
当0＜a＜1时，a-1＜0，
不等式化为$\frac{（1-a）x-a+2}{x-2}$＜0，
解得$\frac{a-2}{1-a}$＜x＜2；
当a＞1时，a-1＞0，
解不等式得x＜$\frac{a-2}{a-1}$或x＞2；
综上，a=1时，不等式的解集为{x|x＞2}；
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|$\frac{a-2}{1-a}$＜x＜2}；
a＞1时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{a-2}{a-1}$或x＞2}．

点评 本题考查了含字母系数的不等式的解法与应用问题，是综合题．