Question

13．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函数g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，
则f（1）=1，所以切点为（1，1），
又f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，则切线斜率k=f′（1）=2，
故切线方程为：y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）g（x）=f（x）-（ax-1）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+（1-a）=$\frac{-{ax}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；
当a＞0时，g′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$，
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
所以当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＞0；当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，$\frac{1}{a}$）是增函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）是减函数，
当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，$\frac{1}{a}$），递减区间是（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴x=$\frac{1}{a}$时，g（x）有极大值g（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-lna，
综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；
当a＞0时，函数g（x）有极大值$\frac{1}{2a}$-lna，无极小值．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．