题目内容
15．若双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的倾斜角是直线l：x-2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{5}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$ | C． | $\frac{5}{4}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
分析 由题意，tanα=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，得出$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，利用e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$得出结论．
解答 解：由题意，tanα=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
故选A．
点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查二倍角公式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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6．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，AC的取值范围为（ ）
| A． | $（{1，\sqrt{2}}）$ | B． | $（0，\sqrt{2}]$ | C． | $（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$ | D． | $（{1，\sqrt{3}}）$ |
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1的交点，已知AA1=AB=2，∠BAD=60°；