Question

过点P（-10，0）引直线l与曲线y=-

50-x2

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．

解答： 解：曲线y=-

50-x2

即 x²+y²=50 （y≤0），表示以原点为圆心，半径等于5

2

的下半圆．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-0=k（x+10），即y=kx+10k．
由于弦心距d=

|0-0+10k|

k2+1

=

|10k|

k2+1

，∴弦长AB=2

r2-d2

=2

50-50k2 k2+1

，
∴S_△OAB=

1

2

•d•AB=

|10k|

k2+1

•

50-50k2 k2+1

=

50 k2(2-2k2)

k2+1

=50

k2(2-2k2) k4+2k2+1

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

-2+ 6 k2+1 - 4 (k2+1)2

．
令

1

k2+1

=t∈（0，1]，则S_△OAB=

-4t2+6t-2

，故当t=

3

4

时，S_△OAB取得最大值为

1

2

，
此时，由t=

3

4

，k=

3

3

（不合题意，舍去），或k=-

3

3

，
故答案为：-

3

3

．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．