Question

20．已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$（b_n-1），（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，可得a₂=3，a₅=9，公差$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$，即可得出a_n．利用数列递推关系与等比数列的通项公式可得b_n．
（2）由（1）知 ${c_n}={a_n}{b_n}=（2n-1）•{3^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
∴a₂=3，a₅=9，公差$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$
∴a_n=a₂+（n-2）d=2n-1…（3分）
又当n=1时，有${b_1}={S_1}=\frac{3}{2}（{b_1}-1）$，∴b₁=3
当$n≥2时，有{b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}（{b_n}-{b_{n-1}}）$，∴b_n=3b_n-1
又b₁=3≠0∴数列{b_n}是首项b₁=3，公比q=3的等比数列，
∴${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={3^n}$…（6分）
（2）由（1）知 ${c_n}={a_n}{b_n}=（2n-1）•{3^n}$…（7分）
∵${T_n}=3+3•{3^2}+5•{3^3}+…+（2n-3）•{3^{n-1}}+（2n-1）•{3^n}$（1）∴$3{T_n}={3^2}+3•{3^3}+…+（2n-5）•{3^{n-1}}+（2n-3）•{3^n}+（2n-1）•{3^{n+1}}$（2）…（9分）
（1）-（2）：∴$-2{T_n}=3+2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（2n-1）•{3^{n+1}}$=$3-（2n-1）•{3^{n+1}}+2•\frac{{{3^2}（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}$
=3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹-（3²-3ⁿ⁺¹）=-6+（2-2n）•3ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=3+（n-1）•{3^{n+1}}$．（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．