Question

20．设函数$f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最高点D的坐标为$（\frac{π}{8}，2）$，由最高点D运动到相邻的最低点时，函数图形与x轴的交点的坐标为$（\frac{3π}{8}，0）$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）经函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式及单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程组求出函数f（x）周期、振幅以及ω与φ的值即可；
（2）根据函数图象的平移写出函数y=g（x）的解析式，
再根据正弦型函数的图象与性质求出它的单调递减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最高点D（$\frac{π}{8}$，2）运动到相邻最低点时，
函数图象与x轴的交点为（$\frac{3π}{8}$，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{T}{4}=\frac{3π}{8}-\frac{π}{8}}\\{A=2}\\{ω•\frac{π}{8}+φ=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，φ=$\frac{π}{4}$；
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得函数y=g（x）的图象，
∴函数y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z），
得x∈[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）；
即y=g（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题考查了由函数的图象与性质求函数解析式的应用问题，也考查了函数的单调性问题，是基础题目．