Question

15．已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c，（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），则${cos^2}\frac{α-β}{2}$=（　　）

• A． $\frac{c^2}{{{a^2}+{b^2}}}$
• B． $\frac{a^2}{{{c^2}+{b^2}}}$
• C． $\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}$
• D． $\frac{a}{{{c^2}+{b^2}}}$

Answer 1

分析 此题把点A（cosα，sinα）与点B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x²+y²=1的两个交点．结合点到直线的距离公式和三角函数中的恒等变换应用进行解答．

解答 解：在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα）与点B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x²+y²=1的两个交点，如图．
从而：|AB|²=（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=2-2cos（α-β）=
又∵单位圆的圆心到直线l的距离d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
由平面几何知识知|OA|²-（$\frac{1}{2}$|AB|）²=d²，即1-$\frac{2-2cos（α-β）}{4}$=d²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$
∴${cos^2}\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{2}$[1+cos（α-β）]=$\frac{c^2}{{{a^2}+{b^2}}}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的化简求值．解题时，利用了“数形结合”的数学思想．