Question

中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜）．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为

2

3

，乙队获胜的概率为

1

3

，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2：0暂时领先．
（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）甲队获胜包括甲队以4：2获胜和甲队以4：3获胜两种情况．分别求出这两种情况的概率，二者之和就是甲队获得这次比赛胜利的概率．
（Ⅱ）随机变量X可能的取值为4，5，6，7．分别求出P（X=4），P（X=5），P（X=6），P（X=7），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．

解答： 解：（Ⅰ）设甲队获胜为事件A，
则甲队获胜包括甲队以4：2获胜和甲队以4：3获胜两种情况．
设甲队以4：2获胜为事件A₁，
则P(A1)=(

2

3

)4=

16

81

…（2分）
设甲队以4：3获胜为事件A₂，
则P(A2)=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3×

2

3

=

64

243

…（4分）
∴P(A)=P(A1)+P(A2)=

16

81

+

64

243

=

112

243

…（6分）
（Ⅱ）随机变量X可能的取值为4，5，6，7．
P(X=4)=(

1

3

)2=

1

9

…（7分）
P(X=5)=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

…（8分）
P(X=6)=

C

1 3

×

1

3

×(

2

3

)2×

1

3

+(

2

3

)4=

28

81

…（9分）
P(X=7)=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3=

32

81

…（10分）
（或者P(X=7)=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3×

1

3

+

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

×

2

3

=

32

243

+

64

243

=

32

81

）
∴X的概率分布为：

X	4	5	6	7
P	1 9	4 27	28 81	32 81

EX=4×

1

9

+5×

4

27

+6×

28

81

+7×

32

81

=

488

81

…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题要注意分类讨论思想的合理运用．