Question

1．已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求函数g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（Ⅱ）利用三角函数周期公式即可计算得解．
（Ⅲ）由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简可得解析式g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由题意得f（$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{4}$=1，
（Ⅱ）∵f（x）=sin2x，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
（Ⅲ）∵g（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{2}$）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴当x=k$π+\frac{π}{8}$，k∈Z时，函数g（x）的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角函数周期公式，诱导公式，两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．