已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|.x≤2}\\{-\frac{1}{4}{x}^{2}+2x-3.x＞2}\end{array}\right.$.如在区间上存在n(n≥2.n∈N*)个不同的数x1.x2.-xn.使得$\frac{f}{{x} {1}}$=$\frac{f}{{x} {2}}$=-=$\frac{f}{{x} {n}}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x≤2}\\{-\frac{1}{4}{x}^{2}+2x-3，x＞2}\end{array}\right.$，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2，n∈N^*）个不同的数x₁，x₂，…x_n，使得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$成立，则n的取值集合是{2，3}．

分析作出f（x）的图象，$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的几何意义为这些点有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．

解答解：∵$\frac{f（x）}{x}$表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的几何意义
为这些点有相同的斜率，
作出函数f（x）的图象，在区间（1，+∞）上，
y=kx与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，
故n=n=2或n=3，
即n的取值集合是{2，3}．
故答案为：{2，3}．

点评本题考查的知识点是斜率公式，正确理解$\frac{f（x）}{x}$表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．

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