Question

7．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中，过点P（1，1）的弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为（　　）

• A． x+2y-3=0
• B． x-2y-3=0
• C． x+2y+3=0
• D． x-2y+3=0

Answer 1

分析 设过点P（1，1）的弦与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1$，相减化简即可得出．

解答 解：设过点P（1，1）的弦与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1$，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，
∴$\frac{2×1}{4}$+$\frac{2×1}{2}k$=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴此弦所在的直线方程为$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，
化为x+2y-3=0．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．