Question

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8，令b_n=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)．利用“裂项求和”即可得出；
（III）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列．可得(

m

6m+4

)2=

1

10

×

n

6n+4

，化为：(

2

m

+3)2=15+

10

n

，由于1＜m＜n，经过验证m=2，n=10，符合条件．当m≥3时，左边＜右边．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₂=7，a₃=8，∴

2a1+d=7 a1+2d=8

，解得

a1=2 d=3

，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)．
∴T_n=

1

3

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)]
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

n

6n+4

．
（III）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
则

T

2 m

=T1•Tn，
∴(

m

6m+4

)2=

1

10

×

n

6n+4

，
化为：(

2

m

+3)2=15+

10

n

，
∵1＜m＜n，
∴m=2，n=10，符合条件．
当m≥3时，左边≤(

11

3

)2=13+

4

9

＜右边．
因此只有m=2，n=10，符合条件．
∴存在正整数m=2，n=10（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了猜想分析归纳验证的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．