Question

有下列命题：
①x=0是函数y=x³+1的极值点；
②三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件b²-3ac＞0；
③奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（4，+∞）上是递增的；
④曲线y=e^x在x=1处的切线方程为y=ex． 
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,简易逻辑

分析：根据函数y=x³+1在R单调递增，无极值点，可判断①；根据三次函数存在极值点的充要条件是导函数有两个零点，可判断②；根据奇函数的性质，求出m，n的值，进而利用导数法判断函数的单调性，可判断③；利用导数法求出切线的方程，可判断④．

解答： 解：函数y=x³+1在R单调递增，无极值点，故①错误；
三次函安徽f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件是其导函数f′（x）=3ax²+2bx+c有两个零点，即△=4b²-12ac＞0，即b²-3ac＞0，故②正确；
函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n是奇函数，故m-1=n=0，故函数f（x）=x³-48x，当x∈（4，+∞）时，f′（x）=3x²-48＞0，故函数为增函数，故③正确；
曲线y=e^x在x=1处的切线斜率为e，切点为（1，e）点，故切线方程为y=ex，故④正确；
故答案为：②③④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的极值点，函数的单调性，函数的切线方程，是导数与逻辑的综合应用，难度中档．