Question

S=1×2+2×3+3×4+…+（n-1）×n+n×（n+1）（1）
S=1×2+2×3+3×4+…+（n-1）×n+n×（n+1）（2）
（1）-（2）（错位相减）得：0=1×2+2×2+3×2+…+n×2-（n+1）×n
即：1+2+3+…+n=

(n+1)×n

2

．
类比此法可得
S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-1）×n×（n+1）+n（n+1）×（n+2）（1）
S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-1）×n×（n+1）+n（n+1）×（n+2）（2）
（1）-（2）（错位相减）得：
0=1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+…+n×（n+1）×3-（n+1）×n×（n+2）
即：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n×(n+1)×(n+2)

3

．
类比知：{n×（n+1）×（n+2）}的前n项和为：

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：由已知中1+2+3+…+n=

(n+1)×n

2

和1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n×(n+1)×(n+2)

3

的推导过程，设{n×（n+1）×（n+2）}的前n项和为S，结合错位相减法可得答案．

解答： 解：设{n×（n+1）×（n+2）}的前n项和为S，
则S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+（n-1）n（n+1）（n+2）+n（n+1）（n+2）（n+3）（1）
S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+（n-1）n（n+1）（n+2）+n（n+1）（n+2）（n+3）（2）
（1）-（2）（错位相减）得：
0=1×2×3×4+2×3×4×4+3×4×5×4+4×5×6×4+…+n（n+1）（n+2）×4-（n+1）n（n+2）（N+3）×4
即：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

．
故答案为：

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．