Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为

3 a

6

，则

c

b

+

b

c

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：解三角形

分析：利用三角形的面积计算公式可得

1

2

×

3

6

a2=

1

2

bcsinA，即a2=2

3

bcsinA．利用余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

，代入

c

b

+

b

c

=

b2+c2

bc

即可得出．

解答： 解：∵

1

2

×

3

6

a2=

1

2

bcsinA，∴a2=2

3

bcsinA．
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴b²+c²=a²+2bccosA=2

3

bcsinA+2bccosA
∴

c

b

+

b

c

=

b2+c2

bc

=2

3

sinA+2cosA=4sin(A+

π

6

)≤4，
∴

c

b

+

b

c

的最大值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．