Question

已知二次函数g（x）=mx²-2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）设f（x）=

g(x)-2x

x

．若f（2^x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h（t）的最值，从而求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x-1）²-m+1+n
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1
∵m＞0依题意得

g(1)=0 g(3)=4

，
即

-m+1+n=0 3m+1+n=4

，
解得

m=1 n=0

∴g（x）=x²-2x+1，
（Ⅱ）∵f(x)=

g(x)-2x

x

∴f(x)=

g(x)-2x

x

=x+

1

x

-4，
∵f（2^x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]时恒成立，
即2x+

1

2x

-4-k•2x≤0在x∈[-3，3]时恒成立
∴k≥(

1

2x

)2-4(

1

2x

)+1在x∈[-3，3]时恒成立
只需 k≥((

1

2x

)2-4(

1

2x

)+1)max
令t=

1

2x

，
由x∈[-3，3]得t∈[

1

8

，8]
设h（t）=t²-4t+1
∵h（t）=t²-4t+1
=（t-2）²-3
∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2
当t=8时，取得最大值33．
∴k≥h（t）_max=h（8）=33
∴k的取值范围为[33，+∞）．

点评：本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．