Question

18．方程3^x+4^x=6^x解的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 方程转化为$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1=0，根据指数函数的单调性得到f（x）$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1为减函数，再根据函数零点存在定理即可判断．

解答 解：方程3^x+4^x=6^x等价于3^x+（2^x）²=2^x•3^x，
即为$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1=0，
因为y=（$\frac{1}{2}$）^x，y=（$\frac{2}{3}$）^x，均为减函数，
所以f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1为减函数，
因为f（1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$-1=$\frac{1}{6}$＞0，f（2）=$\frac{1}{4}$+$\frac{4}{9}$-1=-$\frac{11}{36}$＜0，
所以f（x）在（1，2）上有唯一的零点，
故方程3^x+4^x=6^x解的个数是1个，
故选：B．

点评 本题考查指数函数的性质，得出函数f（x）单调递减是解决问题的关键，属基础题．