Question

6．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，2QA=2AB=PD
（Ⅰ）证明：PQ⊥QC
（Ⅱ）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PQ⊥DC，PQ⊥QD，从而PQ⊥平面DCQ，由此能证明PQ⊥QC．
（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，PQ为棱锥P-DCQ的高，由此能求出棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，2QA=2AB=PD，
∴PDAQ为直角梯形，QA⊥平面ABCD，
平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD，
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
∴DC⊥平面PDAQ，∴PQ⊥DC，
在直角梯形PDAQ中，DQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，
∴PQ⊥QD，PQ⊥平面DCQ，
∴PQ⊥QC．
解：（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，
∴棱锥Q-ABCD的体积V₁=$\frac{1}{3}{a}^{3}$，
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P-DCQ的高，
∵PQ=$\sqrt{2}a$，△DCQ的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²，
∴棱锥P-DCQ的体积${V}_{2}=\frac{1}{3}{a}^{3}$，
∴棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1：1．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查两个几何体的体积的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．