Question

5．已知幂函数f（x）=x^9-3m（m∈N^*）的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
（1）求f（x）表达式；
（2）求满足f（a+1）+f（3a-4）＜0的a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性求出m的范围，从而求出m的值；
（2）根据函数的奇偶性得到f（a+1）＜f（4-3a），根据函数在R上递增，得到a+1＜4-3a，求出a的范围即可．

解答 解　（1）∵函数在（0，+∞）上递增，
∴9-3m＞0，解得m＜3，…（2分）
又m∈N^*，
∴m=1，2．…（3分）
又函数图象关于原点对称，
∴3m-9为奇数，故m=2．…（5分）
∴f（x）=x³…（6分）
（2）∵f（a+1）+f（3a-4）＜0，
∴f（a+1）＜-f（3a-4）…（7分）
又f（x）为奇函数，
∴f（a+1）＜f（4-3a）…（9分）
又函数在R上递增，
∴a+1＜4-3a…（11分）
∴$a＜\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了幂函数的性质，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．