Question

已知：集合A={x|2^x≤256}，集合B={x|log₂x≥

1

2

}．
（1）求A∩B；
（2）若函数f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）-m（x∈A∩B）的图象与x轴有交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点,交集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解不等式得出解集，（2）配方为f（x）=（log₂x-

3

2

）²-

1

4

-m，

1

2

≤log₂x≤3，根据函数单调性，求出最大值，最小值，列出不等式组即可．

解答： 解：（1）∵A={x|2^x≤256}={x|x≤8}，
B={x|log₂x≥

1

2

}={x|x≥

2

}．
∴A∩B={x|

2

≤x≤8}                   
（2）由（1）知：

2

≤x≤8∴

1

2

≤log₂x≤3     
f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）-m
=（log₂x-1）（log 

2

x

-log 

2

2）-m
=（log₂x-1）（log₂x-2）-m=（log₂x-

3

2

）²-

1

4

-m 
∴当log₂x=

3

2

时，f（x）_min=-

1

4

-m，
当log₂x=3时，f（x）_max=2-m
由题意可知：

- 1 4 -m≤0 2-m≥0

∴-

1

4

≤m≤2
所以，实数m的取值范围是：[-

1

4

，2]，

点评：本题考查了函数的性质，不等式的解法，整体运用二次函数求解，属于中档题，难度较大．