Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=2，S_n+2=2a_n，n∈N^*
（1）求a_n；
（2）求证：$\frac{a_1}{{（{{a_1}+1}）（{{a_2}+1}）}}+\frac{a_2}{{（{{a_2}+1}）（{{a_3}+1}）}}+…+\frac{a_n}{{（{{a_n}+1}）（{{a_{n+1}}+1}）}}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）通过S_n+2=2a_n与S_n-1+2=2a_n-1（n≥2）作差整理的a_n=2a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公比为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵S_n+2=2a_n，
∴S_n-1+2=2a_n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}是首项、公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）证明：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{（{a}_{1}+1）（{a}_{2}+1）}$+$\frac{{a}_{2}}{（{a}_{2}+1）（{a}_{3}+1）}$+…+$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．