题目内容
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
=
，
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．
| a | ||
|
| c |
| sinC |
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．
考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．
（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．
解答：
解：（Ⅰ）由正弦定理知
=
=
，
∴sinA=
cosA，即tanA=
，
∵0＜A＜π，
∴A=
．
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，
由余弦定理得36=b2+c2-2bccos
=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-
（b+c）2=
（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），
∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
即b+c的取值范围是（6，12]．
| a | ||
|
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
∴sinA=
| 3 |
| 3 |
∵0＜A＜π，
∴A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，
由余弦定理得36=b2+c2-2bccos
| π |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
即b+c的取值范围是（6，12]．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．结合了基本不等式知识的考查，综合性较强．
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