Question

（本小题满分12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点.

（1）求证：BC⊥平面VAC；

（2）若直线AM与平面VAC所成角为.求三棱锥B-ACM的体积.

Answer 1

（1））祥见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．（2）首先由（1）作出直线AM与平面VAC所成的角：取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；这样就可求出AC的长，且而求得体积．

试题解析：（1）证明：因为VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC. 4分

（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN； 6分

令AC=a,则BC=，MN=；因为VC=2，M为VC中点，所以AN=， 所以，=,解得a=1 10分

因为MN∥BC,所以 12分

考点：1. 直线与平面垂直的判定;2. 棱柱、棱锥、棱台的体积;3. 直线与平面所成的角.