Question

已知DA⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=CB=AD=2，E是DC的中点，F是AB的中点．
（1）证明AC⊥EF；
（2）求二面角C-DB-A的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AC中点G，连接EG，GF，由已知条件推导出EG∥DA，GF∥CB，由此得到AC⊥平面EGF，从而能证明AC⊥EF．
（2）连接CF，在平面DAB中作FH⊥DB于点H，连接CH．由已知条件推导出∠FHC就是二面角CDBA的平面角，由此能求出二面角C-DB-A的正切值．

解答： （1）证明：取AC中点G，连接EG，GF，
因为E是DC的中点，F是AB的中点，
所以EG∥DA，GF∥CB，
因为DA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以DA⊥AC，
因此AC⊥EG，因为AC⊥CB，所以AC⊥GF，
EG?平面EGF，GF?平面EGF，EG∩GF=G，
所以AC⊥平面EGF，EF?平面EGF，所以AC⊥EF．
（2）解：连接CF，在平面DAB中作FH⊥DB于点H，
连接CH．因为AC=CB，F是AB的中点，所以CF⊥AB，
因为DA⊥平面ABC，CF?平面ABC，所以CF⊥DA，
DA∩AB=A，DA?平面DAB，AB?平面DAB，所以CF⊥平面DAB，
DB?平面DAB，所以DB⊥CF，因此DB⊥平面FCH，DB⊥CH，
所以∠FHC就是二面角CDBA的平面角．
因为

FH

DA

=

FB

DB

，所以FH=

FB

DB

•DA=

2

AB2+DA2

×2=

2

(2 2 )2+22

×2=

6

3

，
在直角三角形CFH中，CF=

2

，∠CFH=

π

2

，
所以tan∠CHF=

CF

FH

=

2

6 3

=

3

．
所以二面角C-DB-A的正切值为

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．