Question

已知{a_n}是公差不等于0的等差数列，{b_n}是等比数列（n∈N⁺），且a₁=b₁＞0．
（Ⅰ）若a₃=b₃，比较a₂与b₂的大小关系；
（Ⅱ）若a₂=b₂，a₄=b₄．
（ⅰ）判断b₁₀是否为数列{a_n}中的某一项，并请说明理由；
（ⅱ）若b_m是数列{a_n}中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先分别表示出a₂与b₂，再分类讨论，利用平均值不等式，即可比较a₂与b₂的大小关系；
（Ⅱ）（ⅰ）由a₂=b₂，a₄=b₄，利用等差数列、等比数列的通项得q³-1=3（q-1），可得q=-2，令a_k=b₁₀，即a1+(k-1)d=b1q9，即可判断b₁₀是否为数列{a_n}中的某一项；
（ⅱ）假设b_m=a_k，则4-3k=（-2）^m-1，从而可写出正整数m的集合．

解答： 解：记{a_n}的a₁=b₁=a，{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，由d≠0，得q≠1
（Ⅰ）∵a₁=b₁＞0，a₃=b₃，
∴a2=

a1+a3

2

=

b1+b3

2

，
∵b3=b1q2＞0，

b

2 2

=b1b3，
∴b2=±

b1b3

，
当b2=-

b1b3

时，显然a₂＞b₂；
当b2=

b1b3

时，由平均值不等式

b1+b3

2

≥

b1b3

，当且仅当b₁=b₃时取等号，
而b₁≠b₃，所以

b1+b3

2

＞

b1b3

即a₂＞b₂．
综上所述，a₂＞b₂．           　…（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）因为a₂=b₂，a₄=b₄，所以a+d=aq，a+3d=aq³，得q³-1=3（q-1），
所以q²+q+1=3，q=1或q=-2．
因为q≠1，所以q=-2，d=a（q-1）=-3a．
令a_k=b₁₀，即a1+(k-1)d=b1q9，
所以a-3（k-1）a=a（-2）⁹，
所以k=172，所以b₁₀是{a_n}中的一项．
（ⅱ）假设b_m=a_k，则a1+(k-1)d=b1qm-1，
∴a-3（k-1）a=a（-2）^m-1，
∴4-3k=（-2）^m-1，
当m=1或m=2n，（n∈N^*）时，k∈N^*．
∴正整数m的集合是{m|m=1或m=2n，n∈N^*}．…（13分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，有难度．