Question

对于数列{a_n}，把a₁作为新数列{b_n}的第一项，把a_i或-a_i（i=2，3，4，…，n）作为新数列{b_n}的第i项，数列{b_n}称为数列{a_n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，-2，-3，4，5．已知数列{b_n}为数列{

1

2n

}（n∈N^*）的生成数列，S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）写出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）若生成数列{b_n}满足的通项公式为b_n=

1 2n  ， n=3k+1 ，  - 1 2n  ， n≠3k+1 ，

（k∈N），求S_n．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用b1=

1

2

，|bn|=

1

2n

(n∈N* ， n≥2)，即可写出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）根据bn=

1 2n  ， n=3k+1 ，  - 1 2n  ， n≠3k+1 ，

(k∈N)，分类讨论，可求S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b1=

1

2

，|bn|=

1

2n

(n∈N*，n≥2)，
∴b2=±

1

4

，b3=±

1

8

，
由于

1

2

+

1

4

+

1

8

=

7

8

，

1

2

+

1

4

-

1

8

=

5

8

，

1

2

-

1

4

+

1

8

=

3

8

，

1

2

-

1

4

-

1

8

=

1

8

，
∴S₃可能值为

1

8

，

3

8

，

5

8

，

7

8

．                             
（Ⅱ）∵bn=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

(k∈N)．
∴n=3k（k∈N^*）时，Sn=(

1

21

-

1

22

-

1

23

)+(

1

24

-

1

25

-

1

26

)+…+(

1

23k-2

-

1

23k-1

-

1

23k

)
=(

1

21

+

1

24

+…+

1

23k-2

)-(

1

22

+

1

25

+…+

1

23k-1

)-(

1

23

+

1

26

+…+

1

23k

)
=

1 2 [1-( 1 23 )k]

1- 1 23

-

1 22 [1-( 1 23 )k]

1- 1 23

-

1 23 [1-( 1 23 )k]

1- 1 23

=

8

7

[1-(

1

8

)k](

1

2

-

1

4

-

1

8

)=

1

7

[1-(

1

2

)3k]．
∴Sn=

1

7

[1-(

1

2

)n]．
n=3k+1（k∈N）时，S_n=S_n-1+a_n=

1

7

[1-(

1

2

)n-1]+

1

2n

=

1

7

[1+5(

1

2

)n]；
n=3k+2（k∈N）时，S_n=S_n+1-a_n+1=

1

7

[1-(

1

2

)n+1]+

1

2n+1

=

1

7

[1+3(

1

2

)n]；
∴Sn=

1 7 (1- 1 2n )，n=3k，(k∈N*) 1 7 (1+ 5 2n )，n=3k+1，(k∈N) 1 7 (1+ 3 2n )，n=3k+2．(k∈N)

点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．