Question

7．已知函数$f（x）=x-mlnx-\frac{m-1}{x}（{m∈R}）$，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+{e^x}-x{e^x}$，
（1）当x∈[1，e]，求f（x）的最小值，
（2）当m≤2时，若存在${x_1}∈[{e，{e^2}}]$，使得对任意x₂∈[-2，0]，f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过当m≤2时，当m≥e+1时，当2＜m＜e+1时，分别判断函数的单调性求解函数的最小值．
（2）已知条件等价于f（x₁）_min≤g（x₂）_min，通过函数的导数求解函数的最值，然后推出实数m的取值范围．

解答 （1）$f（x）=x-mlnx-\frac{m-1}{x}（{x＞0}）$，∴$f'（x）=1-\frac{m}{x}+\frac{m-1}{x^2}=\frac{{（{x-1}）[{x-（{m-1}）}]}}{x^2}$，
当m≤2时，f（x）在x∈[1，e]上f'（x）≥0，f（x）_min=f（1）=2-m，
当m≥e+1时，f（x）在[1，e]上f'（x）≤0，$f{（x）_{min}}=f（e）=e-m-\frac{m-1}{e}$，
当2＜m＜e+1时，f（x）在x∈[1，m-1]上f'（x）≤0，x∈[m-1，e]上f'（x）≥0，f（x）_min=f（m-1）=m-2-mln（m-1），
（2）已知等价于f（x₁）_min≤g（x₂）_min，
由（1）知m≤2时f（x）在x∈[e，e²]上$f'（x）≥0，f{（x）_{min}}=f（e）=e-m-\frac{m-1}{e}$，
而g'（x）=x+e^x-（x+1）e^x=x（1-e^x），
当x₂∈[-2，0]，g'（x₂）≤0，g（x₂）_min=g（0）=1，
所以$m≤2，e-m-\frac{m-1}{e}≤1$，
所以实数m的取值范围是$[{\frac{{{e^2}-e+1}}{e+1}，2}]$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．