Question

1．（文）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$0≤φ≤\frac{π}{2}$）在x∈（0，9π）内只能取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值4，当x=8π时，y有最小值-4．
（1）求出此函数的解析式以及它的单调递增区间；
（2）是否存在实数m，满足不等式$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得到A和半周期，再由周期公式求得ω，代入已知点的坐标求得φ，则函数解析式可求，最后由复合函数的单调性求得单调递增区间；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}m+1≥0\\-m+4≥0\end{array}\right.$求得-1≤m≤4，得到$\sqrt{m+1}$和$\sqrt{-m+4}$的范围，再由（1）中的单调性转化为关于m的不等式求解．

解答 解：（1）由当x=π时，y有最大值4，当x=8π时，y有最小值-4，可得A=4，
由$\frac{T}{2}=7π$，得$\frac{π}{ω}$=7π，解得$ω=\frac{1}{7}$．
把x=π，y=4代入$4sin（\frac{1}{7}π+φ）=4$，得$φ=\frac{5π}{14}+2kπ$（k∈Z），
又$0≤φ≤\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{5π}{14}$，
从而函数的解析式为$y=4sin（\frac{1}{7}x+\frac{5π}{14}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{7}x+\frac{5π}{14}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得14kπ-6π≤x≤14kπ+π，
∴该函数的单调增区间为[14kπ-6π，14kπ+π]（k∈Z）；
（2）存在实数m∈（$\frac{3}{2}，4$），满足不等式$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$．
由$\left\{\begin{array}{l}m+1≥0\\-m+4≥0\end{array}\right.$，得-1≤m≤4，
∴$0≤\sqrt{m+1}≤\sqrt{5}$，$0≤\sqrt{-m+4}≤\sqrt{5}$．
由（1）知$y=4sin（\frac{1}{7}x+\frac{5π}{14}）$在$[0，\sqrt{5}]$上单调递增，
∵$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$，
∴$\sqrt{m+1}＞\sqrt{-m+4}$，得$m＞\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}＜m≤4$，
故存在实数m∈（$\frac{3}{2}，4$），满足不等式$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查正弦函数的单调性，属中档题．