Question

12．已知a＜0，曲线f（x）=2ax²+bx+c与曲线g（x）=x²+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同．
（Ⅰ）试求c-a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出f（x），g（x）的导数，得到关于a，b，c的方程组，求出c-a的值即可；
（Ⅱ）根据（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2≤0对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）=（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2，（a＜0），根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax²+bx+c，f（1）=2a+b+c，
∴f′（x）=4ax+b，f′（1）=4a+b，
又g（x）=x²+alnx，g（1）=1，
∴g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，g′（1）=2+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b+c=1}\\{4a+b=2+a}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{b=2-3a}\\{2a+2-3a+c=1}\end{array}\right.$，
故c-a=-1；
（Ⅱ）∵f（x）≤g（x）+a+1恒成立，
∴（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
令h（x）=（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2，（a＜0），
则h′（x）=$\frac{2（2a-1{）x}^{2}+（2-3a）x+a}{x}$，
令h′（x）=0，解得：x=1或x=-$\frac{a}{2（2a-1）}$＜0，（舍），
故h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
则h（x）_max=h（1）=-a-1≤0，解得：a≥-1，
故a∈[-1，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．