Question

19．设命题p：复数z=（m+1）+（m-4）i在复平面上对应的点在第一或第三象限，命题q：方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}=1$表示双曲线，若“p且q”为真命题，则求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别判断出p，q为真时的m的范围，从而根据p且q”为真命题，得到命题p与命题q均为真命题，从而求出m的范围即可．

解答 解：∵复数z=（m+1）+（m-4）i在复平面上对应的点在第一或第三象限，
∴（m+1）（m-4）＞0，解得m＞4或m＜-1，
即命题P：m＞4或m＜-1…（5分）
∵方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}=1$表示双曲线，
∴（1-2m）（m+2）＜0，解得$m＞\frac{1}{2}$或m＜-2，
即命题q：$m＞\frac{1}{2}$或m＜-2…（10分）
又∵“p且q”为真命题，∴命题p与命题q均为真命题…（12分）
则由$\left\{\begin{array}{l}m＞4或m＜-1\\ m＞\frac{1}{2}或m＜-2\end{array}\right.$解得：m＞4或m＜-2，
则所求实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（4，+∞）…（14分）

点评 本题考察了复数和双曲线问题，考察复合命题的判断，是一道基础题．