Question

9．设二次方程a_nx²-a_n+1x-2=0，（n∈N⁺）恒有两个根α、β，满足6α+αβ+6β=3．
（1）写出用a_n表达a_n+1的关系式；
（2）当a₁=$\frac{7}{6}$时，求数列{a_n}的通项公式；
（3）当a₁=$\frac{7}{6}$时，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理及6α+αβ+6β=3，整理得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$；
（2）通过（1）整理可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），进而可知数列{a_n-$\frac{2}{3}$}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，计算即得结论；
（3）通过（2）利用分组法求和计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，α+β=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，αβ=-$\frac{2}{{a}_{n}}$，
又∵6α+αβ+6β=3，
∴6•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n}}$=3，
整理得：a_n+1=$\frac{2+3{a}_{n}}{6}$=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
又∵a₁=$\frac{7}{6}$，
∴a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-$\frac{2}{3}$}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）由（2）可知S_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．