Question

10．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题设知${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x²+y²-$\frac{2}{3}$xy=1，设x+y=t，y=t-x，得8x²-8tx+3t²-3=0，由方程8x²-8tx+3t²-3=0有解，知△≥0，由此能求出x+y的最大值

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$（x，y∈R），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x²+y²-$\frac{2}{3}$xy=1
设x+y=t，y=t-x，得：x²+（t-x）²-$\frac{2}{3}$x（t-x）-1=0，
∴8x²-8tx+3t²-3=0，
∵方程8x²-8tx+3t²-3=0有解，
∴△=64t²-4×8×3（t²-1）≥0，
即t²≤3，
∴-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$，
∴x+y的最大值为$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用．