Question

现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=

51

50

x-ax2-ln

x

10

，且

x

2x-12

∈[t，+∞），其中为大于

1

2

的常数．当x=10时，y=9.2．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围；
（Ⅱ）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）将x=10时，y=9.2代入解析式中即可求得a的值，再由t＞

1

2

得出x的取值范围；
（2）求出f（x）的导数，对t的取值范围进行讨论，求出单调区间，从而求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因当x=10时，y=9.2，即

51

50

×10-a×102-ln1=9.2，解得a=

1

100

．
所以f(x)=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

，
又因为

x

2x-12

≥t，且t＞

1

2

，解得6＜x≤

12t

2t-1

即投入x的取值范围是(6，

12t

2t-1

]．
（Ⅱ）对f（x）求导，得f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

=-

(x-1)(x-50)

50x

，
又因为x＞6，所以从广义上讲有，
当6＜x＜50时，f'（x）＞0，即f（x）递增，当x＞50时，f'（x）＜0，即f（x）递减．
所以当x=50时为极大值点，也是最大值点，于是
①当

12t

2t-1

≥50，即t∈(

1

2

，

25

44

]时，投入50万元改造时取得最大增加值； 
②当6＜

12t

2t-1

＜50时，即t∈(

25

44

，+∞)时，投入

12t

2t-1

万元改造时取得最大增加值．

点评：本题考查了，运用导数求函数的单调区间，最值，分类讨论数学思想，是一道导数的应用题．属于中档题．