Question

某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

逻辑思维能力运动协调能力	一般	良好	优秀
一般	2	2	1
良好	4	b	1
优秀	1	3	a

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有2人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为

2

5

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
（Ⅲ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+a）人．由此能求出a=2．b=4．
（II）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．由此利用对立事件的概率计算公式能求出至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．
（III）ξ的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，
抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+a）人．
则P(A)=

6+a

20

=

2

5

．
解得a=2．所以b=4．（4分）
（II）设事件B：从20人中任意抽取2人，
至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．
则P(B)=1-P(

.

B

)=1-

C 2 12

C 2 20

=

62

95

．（7分）
（III）ξ的可能取值为0，1，2．
20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．
所以P(ξ=0)=

C 2 12

C 2 20

=

33

95

，
P(ξ=1)=

C 1 12 C 1 8

C 2 20

=

48

95

，
P(ξ=2)=

C 2 8

C 2 20

=

14

95

．
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	33 95	48 95	14 95

所以，Eξ=0×

33

95

+1×

48

95

+2×

14

95

=

76

95

=

4

5

（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．