Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，

2

）．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求

AP

•

AQ

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

4 a2 + 2 b2 =1 a2-b2=4

，由此能求出椭圆Γ的方程．
（2）设P（x，y），则Q（-x，y），（x≠0），

AP

=（x-2，y-

2

），

AQ

=（-x-2，y-

2

），由

x2

8

+

y2

4

=1，得x²=8-2y²，由此能求出

AP

•

AQ

的取值范围．

解答： （1）解：∵椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，
且椭圆Γ过点A（2，

2

）．∴c=2，…（1分）

4 a2 + 2 b2 =1 a2-b2=4

，…（2分）
解得a²=8，b²=4，…（4分）
∴椭圆Γ的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）设P（x，y），则Q（-x，y），（x≠0），

AP

=（x-2，y-

2

），

AQ

=（-x-2，y-

2

），…（1分）
由

x2

8

+

y2

4

=1，得x²=8-2y²，
∴

AP

•

AQ

=4-x²+（y-

2

）²
=3y²-2

2

y-2
=3（y-

2

3

）²-

8

3

，…（5分）
由题意，-2＜y＜2，∴-

8

3

≤3(y-

2

3

)2-

8

3

＜10+4

2

．…（7分）
∴

AP

•

AQ

的取值范围是[-

8

3

，10+4

2

）．…（8分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．