Question

对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：新定义

分析：（1）根据“局部奇函数”的定义，只要判断条件f（-x）=-f（x）是否成立即可得到结论．
（2）根据“局部奇函数”的定义，解方程f（-x）=-f（x），即可得到结论．

解答： 解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
即f（x）+f（-x）=0⇒2a（x²-4）=0，
有解x=±2，∴f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（x）+f（-x）=0可转化为2^x+2^-x+2m=0，
∵f（x）的定义域为[-1，1]，
∴方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2x∈[

1

2

，2]，
则-2m=t+

1

t

．
∵g(t)=t+

1

t

在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴g(t)∈[2，

5

2

]，
∴-2m∈[2，

5

2

]，
即m∈[-

5

4

，-1]．

点评：本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．