Question

在正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点．
（1）求二面角B-SC-D的大小；
（2）如果Q点在棱SC上．那么直线BQ能否与PD垂直，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（1）取SC的中点E，连结BE，DE，由题意知∠BED是二面角B-SC-D的平面角，由此能求出二面角B-SC-D的大小．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能推导出直线BQ与PD不垂直．

解答： 解：（1）如图所示，取SC的中点E，连结BE，DE，
由题意知∠BED是二面角B-SC-D的平面角，
∵正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，
∴DE=BE=

3

，DB=2

2

，cos∠BED=

DE2+BE2-DB2

2BE•DE

=-

1

3

，
∴二面角B-SC-D的大小为arccos（-

1

3

）．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，-

2

，0），B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），
S（0，0，

2

），P（0，-

2

2

，

2

2

），
Q点在棱SC上，设

SQ

=λ

SC

，（0≤λ≤1）
则Q（0，

2

λ，

2

（1-λ）），
∴

DP

=(

2

，-

2

2

，

2

2

)，

BQ

=(-

2

，

2

λ，

2

(1-λ))，

DP

•

BQ

=-1-2λ=0，
得λ=-

1

2

不符合要求，
∴直线BQ与PD不垂直．

点评：本题考查二面角的大小的求法，考查直线是否垂直的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．