Question

6．设函数f（x）=|a-x|+|2x-4|
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）＜f（0），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），结合绝对值的意义求出f（x）的最小值即可；（2）通过讨论a的范围得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若a=1时，f（x）=|1-x|+|2x-4|=|x-1|+|x-2|+|x-2||x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，|x-2|≥0，
∴f（x）≥1，
上式当且仅当x=2时取等号，
所以a=1时f（x）的最小值为1；
（2）f（a）＜f（0），
即|2a-4|＜|a|+4等价化为：
$\left\{\begin{array}{l}a＞2\\ 2a-4＜a+4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}0≤a≤2\\ 4-2a＜a+4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 4-2a＜-a+4\end{array}\right.$，
即2＜a＜8或0＜a≤2或无解，
∴0＜a＜8．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的意义以及分类讨论思想，是一道中档题．