Question

11．已知函数f（x）=|x-2|+|x-a|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≤2
（Ⅱ）若f（x）≥2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的意义得到|a-2|≥2，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+3，x＜1}\\{1，1≤x≤2}\\{2x-3，x＞2}\end{array}\right.$，
当x＜1时，-2x+3≤2，所以x＞$\frac{1}{2}$．故$\frac{1}{2}$＜x＜1，
当1≤x≤2时，1≤2恒成立，
当x＞2时，2x-3＜2，所以x＜$\frac{5}{2}$，
故2＜x＜$\frac{5}{2}$，
综上可知x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
（Ⅱ）∵|x-2|+|x-a|≥|x-2+a-x|=|a-2|，
由题意有|a-2|≥2，
∴a-2≥2或a-2≤-2，
解得：a≥4或a≤0．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义、分类讨论思想，是一道中档题．