Question

19．求证：当x≥0时，$\frac{1}{{e}^{x}}+\frac{4x}{x+4}≥1$．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，从而求导f′（x）=$\frac{16{e}^{x}-（x+4）^{2}}{{e}^{x}（x+4）^{2}}$，再令g（x）=16e^x-（x+4）²，从而求导g′（x）=16e^x-2（x+4），二阶求导g″（x）=16e^x-2，从而判断导数的正负以确定函数的单调性，从而证明．

解答 证明：令f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，
f′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{16}{（x+4）^{2}}$=$\frac{16{e}^{x}-（x+4）^{2}}{{e}^{x}（x+4）^{2}}$，
令g（x）=16e^x-（x+4）²，
则g′（x）=16e^x-2（x+4），
g″（x）=16e^x-2，
∵x≥0，∴g″（x）=16e^x-2＞0，
故g′（x）在[0，+∞）上是增函数，
且g′（0）=16-8=8＞0，
故g（x）在[0，+∞）上是增函数，
且g（0）=16-16=0，
故g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
故f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
故f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）≥f（0）=1+0=1，
即当x≥0时，$\frac{1}{{e}^{x}}+\frac{4x}{x+4}≥1$．

点评 本题考查了导数的综合应用及利用函数的思想证明不等式的应用，注意对函数的连续求导的应用．