Question

14．某几何体的展开图如图所示（其中△VAB，△V₁AC，△V₂BC，△ABC都是边长为2的等边三角形）．将它沿AB、BC、AC折叠还原为原几何体，使得V、V₁、V₂重合于点V．
（1）求原几何体的表面积；
（2）若M为AB中点，求在原几何体中直线VM与直线BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）原几何体是棱长为2的正四面体V-ABC，由此能求出原几何体的表面积．
（2）取AC中点N，连结MN，PN，则MN∥BC，∠VMN是原几何体中直线VM与直线BC所成角，由此能求出原几何体中直线VM与直线BC所成角的余弦值．

解答 解：（1）如图，原几何体是棱长为2的正四面体V-ABC，
∴原几何体的表面积：
S=4S_△ABC=4×$\frac{1}{2}×AB×AC×sinA$
=4×$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$
=4$\sqrt{3}$．
（2）取AC中点N，连结MN，PN，
∵M为AB中点，∴MN∥BC，
∴∠VMN是原几何体中直线VM与直线BC所成角，
∵VM=VN=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，MN=$\frac{1}{2}BC=1$，
∴cos∠VMN=$\frac{V{M}^{2}+M{N}^{2}-V{N}^{2}}{2×VM×MN}$=$\frac{3+1-3}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴原几何体中直线VM与直线BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查几何体的表面积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．