Question

8．已知二次函数f（x）满足f（0）=0，且f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（1）求二次函数f（x）的解析式；
（2）若不等式mf（x）＞（m-1）（2x-1）对m∈[-2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
（3）是否存在这样的正数a、b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为$[\frac{1}{b}，\frac{1}{a}]$，若存在，求出所有的正数a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0便可设二次函数f（x）=ax²+bx，而根据f（x+1）-f（x）=-2x+1便可求出a=-1，b=2，从而得出f（x）=-x²+2x；
（2）先由mf（x）＞（m-1）（2x-1）得到（-x²+1）m+2x-1＞0，法1：该不等式在m∈[-2，2]上恒成立，从而看出需讨论-x²+1等于0，大于0和小于0三种情况：-x²+1=0时，可判断x=1满足条件，而-x²+1＞0和-x²+1＜0时，根据一次函数的单调性，求函数（-x²+1）m+2x-1在m∈[-2，2]上的最小值，让最小值大于0，这样即可建立关于x的不等式，解不等式便可得出实数x的取值范围；法2：设g（m）=（-x²+1）m+2x-1，利用一次函数的性质解决问题；
（3）根据题意知，函数f（x）和函数$y=\frac{1}{x}$至少有两个交点，从而解方程$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$，看该方程是否有两个不同正实根：若方程有两个不同正实根，则存在正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为$[\frac{1}{b}，\frac{1}{a}]$，并可得出a，b的值，否则不存在这样的a，b．

解答 解：（1）f（0）=0，∴设f（x）=ax²+bx；
∴f（x+1）=a（x²+2x+1）+b（x+1）=ax²+bx+2ax+a+b；
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=-2}\\{a+b=1}\end{array}\right.$；
∴a=-1，b=2；
∴f（x）=-x²+2x；
（2）由mf（x）＞（m-1）（2x-1）得，m（-x²+2x）＞（m-1）（2x-1）对任意m∈[-2，2]恒成立；
∴（-x²+1）m+2x-1＞0对m∈[-2，2]恒成立；
法1：①-x²+1=0，即x=±1时，显然只有x=1满足上面不等式成立；
②-x²+1＞0，即-1＜x＜1时，只需（-x²+1）•（-2）+2x-1＞0；
解得$x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$，或$x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$；
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜1$；
③-x²+1＜0，即x＜-1，或x＞1时，只需（-x²+1）•2+2x-1＞0；
解得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴$1＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴综上得实数x的取值范围为$（\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{3}}{2}）$；
法2：设g（m）=（-x²+1）m+2x-1，则：
$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-2（-{x}^{2}+1）+2x-1＞0}\\{g（2）=2（-{x}^{2}+1）+2x-1＞0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴实数x的取值范围为（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
（3）根据题意知方程$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$①至少有两个不同的正根；
由上面方程得，x³-2x²+1=0；
∴（x³-x²）-（x²-1）=x²（x-1）-（x+1）（x-1）=（x-1）（x²-x-1）=0；
∴x=1，或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
∴方程①有两个不同的正根$x=1，或x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
∴存在正数a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，使x∈[a，b]时，f（x）的值域为$[\frac{1}{b}，\frac{1}{a}]$．

点评 考查二次函数的一般形式，多项式相等时，对应项的系数相等，以及一次函数的单调性，根据单调性定义求最值，解一元二次不等式，因式分解求高次方程的方法，以及反比例函数$y=\frac{1}{x}$在闭区间上的值域．